Erwan Biland page professionnelle
English

Recherche

Mes intérêts de recherche portent sur les représentations des groupes finis en caractéristique positive, autrement dit les représentations modulaires. Ma thèse de doctorat sous la direction de Michel Broué (Pris 7) et Claude Levesque (Laval) porte sur les équivalences de Morita et les équivalences stables entre algèbres de blocs, et sur le passage du local au global dans ce contexte. Je m'intéresse aussi à la théorie des catégories, et notamment à sa vulgarisation en direction des étudiants de premier cycle universitaire.

Publications, mémoires et autres papiers

-  Strong fusion control and stable equivalences, 18 pages, à paraître dans Advances in Mathematics (2014). arXiv:1308.5477

-  Brauer-friendly modules and slash functors, 20 pages, à paraître dans le Journal of Pure and Applied Algebra (2014). arXiv:1307.3924

-  Le langage des catégories I, un point de vue moderne sur les mathématiques, paru dans Quadrature no. 87 (janvier 2013).
-  Le langage des catégories II, espaces vectoriels et matrices, paru dans Quadrature no. 88 (avril 2013).

    Résumé. A partir du dix-neuvième siècle, l'exigence de rigueur a pris une place de plus en plus importante dans les mathématiques, notamment sous l'influence de l'Allemand David Hilbert. Parallèlement, dans le sillage d'un autre mathématicien allemand, Bernhard Riemann, l'interaction entre algèbre et géométrie a donné naissance à la topologie algébrique puis aux nombreuses théories homologiques qui ont structuré les mathématiques depuis lors.
    C'est pour donner des fondements incontestables à ces théories que la notion de catégorie a été formalisée au milieu du vingtième siècle, et a ensuite connu d'importants développements.
    Cet article ne cherche pas à décrire la, ou les, théorie(s) des catégories. Nous proposons, plus modestement, de donner les bases du langage des catégories. Ces quelques notions suffiront pour apporter un éclairage nouveau sur l'enseignement des mathématiques au premier cycle universitaire. Nous énoncerons en particulier un résultat frappant, qui met en évidence les lignes de force du cours d'algèbre linéaire à ce niveau.

-  Représentations modulaires et structure locale des groupes finis, thèse de doctorat, 152 pages, 2013.

-  Projectivité relative et structure locale d’un groupe fini, février 2011.

    Résumé. La théorie de Brauer a pour objet d’étudier les groupes finis à travers leurs représentations. Plus précisément, pour un groupe G et un nombre premier p fixés, la structure de la catégorie des représentations de G sur un corps k de caractéristique p est étroitement liée à la nature des p-sous-groupes de G, et en particulier à l’action de G par conjugaison sur ces sous-groupes.
    Nous avons précédemment décrit la structure «globale» de la catégorie des k G-modules. Dans ces notes issus de trois exposés donnés à l'automne 2010, nous nous attachons à explorer sa structure «locale», dans son articulation avec la structure "p-locale" du groupe G. Nous insistons particulièrement sur l’outil central qu’est la projectivité relative, à partir des résultats fondateurs obtenus par Higman et Green à la fin des années 1950.

-  Blocs de Brauer et triangle CDE, mars 2010.

    Résumé. L’objet de ces notes est de faire le point sur les propriétés des algèbres symétriques qui permettent, d’une part, de définir les blocs de Brauer et, d’autre part, de définir le caractère d’une représentation. On cherchera ensuite à expliquer, toujours dans le cadre des algèbres symétriques, le lien entre représentations ordinaires et représentation modulaires, relativement à un nombre premier p.
    La structure d’un bloc ne sera pas explicitée, sauf dans le cas où celui-ci est semi-simple. Cette structure est généralement trop compliquée pour être décrite ; tout au plus peut-on espérer comparer des blocs au moyen d’équivalences de Morita ou d’équivalences dérivées.
    Ces notions sur les algèbres symétriques seront appliquées à l’algèbre d’un groupe fini G sur un anneau de valuation discrète.

-  Mon mémoire de DEA sous la direction de Anne-Marie Aubert (2002) : faisceaux pervers en cohomologie étale des schémas.

-  Mon exposé de maîtrise avec Xavier Caruso, sous la direction de Yves Laszlo (2000) : Z est simplement connexe.

-  Un papier sur la convexité du domaine du plan délimité par un lacet dont la courbure ne s’annule pas (niveau prépa ou développement d’agrégation).

-  Un exposé au séminaire de mathématiques du lycée Clemenceau (Nantes), à partir d’un développement d’agrégation de Richard Antetomaso (2001) : corps non commutatifs et algèbres de matrices.

Communications, séminaires

-  Brauer-friendly modules and slash functors, Brauer's problems - 50 years on, Manchester (UK), Sep 2013.

-  Brauer-friendly modules and gluing, Université de Picardie Jules Vernes, Amiens (France), Jul 2013.

-  Représentations modulaires et structure locale des groupes finis, SAG Seminar, Sherbrooke University (Canada), Mar 2013.

-  Algèbres fortement graduées et théorème de Morita, SAG Seminar, Sherbrooke University (Canada), Sep 2012.

-  Strong fusion control and stable equivalences, talk at the CMRT conference, Bristol, September 28th, 2012.

    Abstract. Let G be a finite group and P a p-subgroup such that the centralizer CG(P) controls strong fusion in G. This situation happens for instance with a minimal counter-example to the famous Z*p-theorem. Let e be a block of G with a defect group containing P. For any non-trivial e-subpair (Q,eQ) with Q contained in CG(P), we prove the existence of a bimodule M(Q,eQ) which provides a Morita equivalence kCG(Q)eQ ~ kCG(PQ)brP(eQ). We obtain several characterizations of this bimodule and give evidence that points towards the existence of a stable equivalence of Morita type kGe ~ kCG(P)brP(e)$.

-  Algèbres fortement graduées et théorème de Morita, exposé au séminaire Chevalley, Paris, 21 juin 2012.
-  Donné de nouveau au séminaire SAG de l'Université de Sherbrooke, 21 septembre 2012.

    Résumé. Les algèbres fortement graduées sur un groupe G, introduites par Dade, jouent un rôle important en théorie des représentations, illustré notamment par les travaux de Marcus. Nous proposons un point de vue catégorique sur ces objets. Si R est une algèbre fortement G-graduée, nous montrons que le groupe G agit sur la catégorie des modules sur la sous-algèbre R1, et que la connaissance de cette action est suffisante pour reconstruire l'algèbre R à partir de R1 ; nous disons alors que R1 est une algèbre G-équivariante. Nous généralisons le théorème de Morita au cas des algèbres G-équivariantes, puis étudions le cas particulier des algèbres de matrices.

-  Modules with endopermutation source, Green correspondence and Brauer functor, talk at the Young Algebraists' Conference 2012, Lausanne, June 14th, 2012.

    Abstract. An indecomposable module M over a group algebra kG (char(k)=p>0) has a vertex P and a source S, as defined by Green. If the source S is an endopermutation kP-module, we show that M is characterized up to isomorphism by the triple (P,S,L), where L is a projective kN_G(P,S)/P-module. We try to use this to understand better Dade's "slashed module" construction for endo-p-permutation modules.

-  An application of equivariant Morita theory, talk at the Ottawa-Carleton Algebra Seminar, February 29th, 2012.

    Abstract. Consider two rings A and B; in our context, A and B are block algebras of finite groups over a field k of positive characteristic. Morita's theorem asserts that the categories of modules over A and B are equivalent if, and only if, there exists an (A,B)-bimodule with nice properties. But what if A and B are both endowed with an action of a group G? In this talk, we will give a G-equivariant version of Morita's theorem. We will then define an induction functor which we use to turn G-equivariant Morita equivalences between simple algebras into equivalences between more complicated algebras. Finally, we will show how this technique allows us to simplify a proof of Robinson and Külshammer, initially based on Clifford theory. Our point of view easily brings functorial properties with interesting consequences, otherwise out of reach. This is based on our work for PhD, under the supervision of Michel Broué.

-  Extensions de groupes et catégories, exposé au séminaire d'algèbre et géométrie de l'Université Laval, 17 février 2012.
-  Donné de nouveau au XV-ième colloque pan-québécois des étudiants de l'ISM, 3 juin 2012.

    Résumé. Si H et G sont deux groupes et si H est abélien, on sait qu'il faut deux choses pour classifier, à isomorphisme près, une extension de G par H : d'une part une action du groupe G sur le groupe H, et d'autre part un élément du groupe de cohomologie H²(G,H). Il existe un autre point de vue, certes moins "calculable", mais valable pour un groupe H quelconque. Une extension E de G par H est caractérisée, de façon unique à isomorphisme près, par une action du groupe G sur la catégorie des H-ensembles. Cette correspondance est fonctorielle en E et en H : on peut d'ailleurs l'écrire comme une équivalence de catégories.

-  From local to global in block theory - Strong fusion control and sheaves of local Morita equivalences, talk at UCLA, February 9th, 2012.
Slides.

    Abstract. We explain the link between a stable equivalence and a coherent system of local Morita equivalences for blocks of finite groups with the same local structure. This is well-know for the principal blocks. Here we give an example of a coherent system of local Morita equivalences for nonprincipal blocks. Hopefully, this should lead to a stable equivalence, but some problems are still unsolved.

-  Théorie de Clifford et équivalences de Morita équivariantes, exposé au séminaire d'algèbre et géométrie de l'Université Laval, 24 novembre 2011.

    Résumé. La théorie des représentations modulaires d'un groupe fini G est l'étude de la catégorie des kG-modules, où k est un corps de caractéristique positive p. Si H est un sous-groupe distingué de G d'ordre copremier à p, et ζ un caractère de H, la théorie de Clifford permet de décrire la catégorie des représentations de G qui sont "au dessus" du caractère ζ. Concrètement, cette description se fait en prouvant que cette catégorie est équivalente à une autre catégorie de représentations, moins compliquée que la première. Ce type d'équivalence de catégories, appelé "équivalence de Morita", est un outil central de la théorie des représentations modulaires. J'en introduit un raffinement (la notion d'équivalences équivariante), et je montre comment il permet de mieux comprendre la théorie de Clifford, mais aussi de simplifier grandement d'autres résultats.

-  Un peu de distinction dans un monde de brutes... (théorie des caractères et sous-groupes distingués), exposé au séminaire pour étudiant gradués du département de mathématiques de l'Université Laval, 17 novembre 2011.

    Résumé. Cet exposé est une introduction à la théorie des caractères, un outil fondamental depuis un siècle pour l'étude des groupes finis. Je mets l'accent sur ses applications à l'étude des sous-groupes distingués, de deux manières. D'une part, je montre que les caractères sont de très bons outils pour prouver qu'un groupe G admet au moins un sous-groupe distingué (normal) non trivial, c'est-à-dire que G n'est pas un groupe simple. D'autre part, si H est un sous-groupe distingué de G, je donne un aperçu des relations subtiles entre les caractères du groupe G et ceux des groupes H et G/H. La théorie des caractères est un outil qui a des applications bien au-delà de la théorie des groupes : théorie des nombres, géométrie, et jusqu'en cristallographie... Cet exposé ne demande aucun prérequis au-delà de notions élémentaires d'algèbre linéaire et de théorie des groupes.

-  Brauer blocks and Morita equivalences, talk at the Maine-Québec Number Theory Conference, october 1st, 2011.
Slides.

    Abstract. We set up the general frame of modular representation theory. We define the Brauer blocks of a group algebra over a field of positive characteristic, with some examples. Then we explain why classification of such blocks should be done up to an equivalence of module categories (Morita, derived, stable equivalence), and illustrate with our recent work.

-  Group theory via categories of modules, talk at the CCÉM-CUMC (Canadian undergraduate mathematics conference) at Laval University, june 16th, 2011.
Slides (in french, while the talk was in english).

    Abstract. The langage of categories is one that reflects the profound unity of mathematics. For example, it would allow an algebraist and an analyst to agree on a common definition of an isomorphism. But categories also may, and should, be studied for themselves. This is what group theory has been doing since the pioneering work of R. Brauer in the 40’s. The study of modular representations of a finite group G is the study of the category of modules over the group algebra kG, where k is a field of prime characteristic p. This category contains much information on the so-called ”p-local structure” of G, i.e. the behaviour of p-subgroups inside G.

-  Homologie d'intersection et correspondance de Springer, exposé au séminaire d'algèbre et géométrie gradué de l'Université Laval, 29 avril 2011.
Références : Prépublication d'Alberto Arabia (très complet), ou mon mémoire de DEA (uniquement sur les faisceaux pervers).

    Résumé. Depuis les débuts de l'homologie à la fin du 19ème siècle, le Graal d'une théorie (co)homologique est l'obtention d'une dualité "de Poincaré". Cette dualité a été prouvée d'abord pour des variétés topologiques lisses et compactes, puis généralisée par Grothendieck et ses élèves à des variétés algébriques avec les mêmes propriétés. L'homologie d'intersection et les faisceaux pervers ont été développés pour généraliser cette dualité à des "pseudo-variétés" topologiques singulières, puis à des variétés algébriques non lisses. Ces outils difficiles d'accès, car utilisant les catégories dérivées, mais très puissants, ont permis de définir une correspondance entre les représentations d'un groupe de Lie, ou d'un groupe algébrique, et celles du groupe de Weyl associé : la correspondance de Springer. Il s'agit d'un champ de recherche très actif à l'heure actuel.
    L'objectif de mon exposé était de donner les grandes lignes de ces théories, sans chercher du tout à rentrer dans les détails techniques. Un prolongement possible serait la mise en place d'un groupe de travail sur le sujet au cours de la prochaine année universitaire. En effet, ce sujet transversal peut éveiller l'intérêt de plusieurs algébristes ou géomètres fréquentant le séminaire.

-  Équivalences de Morita, exposé au séminaire d'algèbre et géométrie gradué de l'Université Laval, 25 février 2011.
Présentation pour vidéoprojecteur.

    Résumé. Soient A et B deux anneaux, commutatifs ou non. De nombreuses propriétés de A et B se retrouvent dans les catégories de modules associées. On donnera une condition nécessaire et suffisante pour que les catégories A-mod et B-mod soient équivalentes, et on en tirera diverses conséquences, comme l'existence d'un isomorphisme entre les centres Z(A) et Z(B). On en profitera pour énoncer le théorème de Freyd-Mitchell montrant l'importance des catégories de modules dans la théorie générale des catégories.

-  Chercher des points rationnels, exposé au séminaire d'algèbre et géométrie de premier cycle de l'Université Laval, 10 février 2011.
Présentation pour vidéoprojecteur.
Feuille Maple ou, si vous préférez, la version pdf.

    Résumé. Sur le modèle de la fonction zeta de Riemann, on peut associer une fonction zeta à n'importe quelle courbe algébrique projective et lisse sur un corps fini. Cette fonction, comme son modèle, vérifie une équation fonctionnelle reliant zeta(s) et zeta(1-s). En fait, c'est même une fonction rationnelle. Pour l'étude d'une courbe, on dispose d'un outil très puissant, le théorème de Riemann-Roch, qui permet de démontrer facilement ces propriétés. Pour illustrer concrètement leur intérêt, je prendrai l'exemple d'une courbe définie sur le corps à 5 éléments, mais qui, de façon inattendue, ne possède aucun point sur ce corps... Ce sera l'occasion de voir comment on utilise la division euclidienne des polynômes pour calculer dans les corps finis. Cet exposé sera très élémentaire, et le niveau sera adapté à l'auditoire.

-  Le langage des catégories, exposé au séminaire d'algèbre et géométrie de premier cycle de l'Université Laval, 13 janvier 2011.
Présentation pour vidéoprojecteur.

    Résumé. Plus on se familiarise avec les mathématiques, plus on remarque que les objets mathématiques aiment vivre en bande plutôt que tout seuls. Ainsi l'étude des nombres 1, -3/4, e ou i mène-t-elle vite à l'étude des ensembles de nombres N, Q, R ou C. Peut-on faire de même avec des objets plus abstraits comme les groupes ou les espaces vectoriels ? C'est le langage des catégories qui permet cette deuxième montée en généralité. Nous parlerons notamment d'algèbre linéaire et de calcul matriciel pour montrer la puissance de ce langage, qui nous permettra de résumer en quelques phrases l'essence des des cours d'algèbre linéaire du bac.

-  Projectivité relative et blocs de Brauer, série de trois exposés au séminaire d'algèbre et géométrie gradué de l'Université Laval, du 25 novembre au 7 décembre 2010.

    Voir (rubrique "écrits") les notes détaillées tirées de ces exposés.

-  Blocs de Brauer et structure locale des groupes finis, exposé à la conférence Québec-Maine, 2 octobre 2010.
Présentation pour vidéprojecteur

    Résumé. Ce court exposé (20 min) visait à montrer comment on prouve des théorèmes de non-simplicité de groupes finis par construction de caractères dont le noyau est un sous-groupe distingué, puis d'illustrer l'utilisation des théorèmes de Brauer dans ce contexte.

-  La cohomologie de Tate, exposé au groupe de lecture de doctorants de l'IMJ sur la cohomologie des groupes, 18 mars 2010.
Notes

    Résumé. La cohomologie de Tate réunit, dans un même foncteur cohomologique H*(G,·), à la fois l’homologie et la cohomologie classiques d’un groupe fini G.
    Pour la construire, on définit une notion de «résolution» complète d’un G-module M. On aimerait qu’une telle résolution se fasse au moyen de modules à la fois projectifs et injectifs, ce qui n’est généralement pas possible. On remplace donc la projectivité et l’injectivité par des notions relatives ; l’hypothèse de finitude de G entraîne l’équivalence de la projectivité et de l’injectivité relatives.
    Après avoir défini l’homologie et la cohomologie de Tate, on montre qu’elles sont identiques (à la numérotation près), puis on les relie à l’homologie et la cohomologie ordinaires. On énonce ensuite leurs principales propriétés, avant de définir (schématiquement) le cup-produit en cohomologie.