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Algèbre linéaire avancée (MAT-2200)

Université Laval - Hiver 2014

Disponibilités : local VCH-2209, le mardi de 10h30 à 11h20, le vendredi de 13h30 à 14h20, et sur rendez-vous si ces horaires ne vous conviennent pas.

-  Le plan de cours officiel, affiché sur le portail des cours de l'Université Laval..

-  Quelques documents utiles :

-  Les lectures conseillées pour préparer les prochaines séances du cours :

  • Pour la fin du cours (formes quadratiques) : pages 200-204 et 248-260 du manuel.

  • Pour vendredi 28 mars : pages 205 à 221 du manuel.

  • Pour mardi 18 février : pages 89 à 112 du manuel.

  • Pour mardi 28 janvier : pages 35 à 53 du manuel.

  • Pour vendredi 17 et mardi 21 janvier : pages 1 à 22 du manuel (Cottet-Emard).

-  Les séries d'exercices, en partie tirées du manuel (Cottet-Emard). Je mettrai en ligne des corrigés des exercices les plus importants, en général au moment où ils seront corrigés en classe.

  • La série 9 sera abordée en classe à partir du mardi 22 avril.

  • La série 8 sera abordée en classe à partir du mardi 8 avril. Le corrigé.

  • La série 7 sera abordée en classe à partir du mardi 1er avril. Le corrigé.

  • La série 6 sera abordée en classe à partir du mardi 25 mars. Le corrigé.

  • La (courte) série 5 sera abordée en classe à partir du mardi 18 février. Le corrigé.

  • La série 4 sera abordée en classe entre les vendredis 7 et 14 février. Mise à jour : j'ai ajouté des indications aux exercices 4.1 et 4.6. Le corrigé.

  • Série 3 : les exercices 3, 4, 6, 7, 9, 12 du chapitre 2 du manuel (pages 56 à 87). Les séries 2 et 3 seront abordées pendant le dépannage du mardi 4 février. Vous pouvez aussi étudier les autres exercices de ce chapitre.

  • La série 2 sera abordée en classe entre les vendredis 24 et 31 janvier. Le corrigé (Erratum : dans l'exercice 2.2, la valeur en position (3,3) dans la matrice A est 2 et non 4).

  • La série 1 pour le dépannage du mardi 21 janvier. Le corrigé des exercices 1.1 à 1.7. Noter que les exercices 1.7 et 1.8 utilisent des définitions et notations qui n'ont peut-être pas encore été vues par tous (j'y reviendrai en classe).

-  Les tests, sous forme de questions à choix de réponses :

  • Pour permettre la tenue de l'examen de reprise du 18 mars, le minitest du mardi suivant, le 25 mars, est annulé et remplacé par un dépannage. Pour calculer la note finale, je garderai les deux meilleures notes parmi les trois minitests.
  • Le test 3, posé le mardi 8 avril de 8h30 à 9h20.
  • Le test 2, posé le mardi 11 février de 8h30 à 9h20. Les compétences testées étaient :
    • connaître les définitions et théorèmes figurant dans la présentation pour vidéoprojecteur, jusqu'au transparent no. 41 ;
    • reconnaître des sous-espaces supplémentaires, déterminer les projecteurs et symétries associés ;
    • reconnaître un projecteur, une symétrie, calculer leurs éléments caractéristiques (noyau, image, points fixes, points envoyés sur leur opposé) ;
    • savoir calculer un rang, utiliser le théorème du rang et choisir des bases adaptées à une application linéaire (PAS un endomorphisme).

  • Le test 1, posé le mardi 28 janvier de 8h30 à 9h20, et son corrigé. Les compétences testées étaient :
    • connaître les définitions et théorèmes figurant dans la présentation pour vidéoprojecteur, jusqu'au transparent no. 28 ;
    • reconnaître un sous-espace vectoriel, une application linéaire ;
    • calculer l'image, le noyau d'une application linéaire;
    • calculer la matrice d'une application linéaire dans des bases données.

-  Les examens :

  • L'examen final a lieu le mardi 29 avril, de 08h30 à 10h20.
    Il portera sur toute la matière du cours. Pour la question de cours, les résultats à connaître avec leurs preuves sont les suivants :
    • Pour des applications linéaires u:E->F et v:F->G, en dimension finie, dim(ker vou) - dim(ker u) = dim(ker v "inter" im u).
    • Le théorème de Cauchy-Schwartz et son cas d'égalité (dans le cas réel).
    • Si une forme phi sur un C-espace vectoriel est linéaire à droite et hermitienne, alors elle est semi-linéaire à gauche.
    • Toute famille orthogonales de vecteurs non nuls est une famille libre.
    • Si E est un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel de E, alors l'orthogonal de F est un supplémentaire de F.
    • Formules de polarisation pour une forme quadratique (énoncer les trois formules et en démontrer une).
    Pour vous préparer, vous pouviez chercher l'examen type, qui a été corrigé lors du dépannage du vendredi 25 avril. Voici le corrigé de cet examen-type.

  • Il y a eu un examen de reprise mardi 18 mars, de 8h30 à 10h20. La matière de l'examen de reprise était la même que celle de l'examen partiel.
  • L'examen partiel a été donné le vendredi 28 février. Voici son corrigé.
    Il portait sur la matière du cours jusqu'au théorème de décomposition des noyaux. Pour la question de cours, les résultats à connaître avec leurs preuves étaient les suivants :
    • L'image directe d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
    • Si u:E->F est linéaire et S est un supplémentaire de ker(u) dans E, alors u induit un isomorphisme S->im(u).
    • Si A est une matrice n*p et B une matrice p*n, alors tr(AB)=tr(BA).
    • Si p:E->E est linéaire et pop=p, alors p est un projecteur.
    • Étant données une base (f1,…,fk) de F et une base (g1,…,gl) de G, si F et G sont supplémentaires dans E, alors (f1,…fk,g1,…gl) est une base de E.
    • Si E est de dimension finie et u:E->E est un endomorphisme, alors u possède au moins un polynôme annulateur.
    Pour vous préparer, vous pouviez faire l'examen type, qui a été corrigé lors du dépannage du mardi 25 février.